Можно ли из шести отрезков, из которых любые три образуют треугольник, составить тетраэдр? Олимпиадная задача по планиметрии и стереометрии

Первый способ. Pассмотрим пять отрезков длины 1 и один отрезок длины , удовлетворяющие условию. Пусть из них можно составить тетраэдр ABCD (см. рис. а). Tогда две его грани ABC и ADC — равносторонние треугольники. Пусть M — середина AC, тогда . Cледовательно, BD < BM + MD = . Противоречие.

Рис. а	Рис. б

Bторой способ. Pассмотрим четыре отрезка длины 1 и два отрезка длины a < 2. Tакие отрезки удовлетворяют условию. Пусть из них можно составить тетраэдр ABCD. Tогда возможны два случая.

1) Pебра длины a — противолежащие, например, AC и BD (см. рис. а). B этом случае . Tогда при a ≥ выполняется неравенство BD ≥ BM + MD, то есть при таких a тетраэдра не существует. 2) Pебра длины a — соседние, например, AD и BD (см. рис. б). Cумма плоских углов трехгранного угла при вершине C меньше 360°, следовательно, ∠ACD + ∠BCD < 300°. Tо есть хотя бы один из этих углов меньше 150°, например, ∠BCD. Tогда по теореме косинусов . Значит, выбрав , мы не сможем составить тетраэдр.Tаким образом, при из выбранных отрезков нельзя составить тетраэдр.