Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство неравенства в треугольнике

Первый способ. Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рис. а. Тогда

Поскольку , а , то сложив равенства (2) и (3), получим, что , следовательно, . Заметим, что при таком решении не существенно, как расположены точки K, L, M и N.

Рис. а	Рис. б	Рис. в

Второй способ. Пусть точка X такова, что BNXL — параллелограмм (см. рис. б). Тогда NX параллелен и равен BL, а значит, и AK; аналогично LX параллелен и равен CM. Отсюда CMLX и AKNX — параллелограммы, поэтому LM + KN = CX + AX ≥ AC.Третий способ. Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рис. в. Cпроектируем точки K, L, M и N на прямую AC. Проведем перпендикуляры KE и MF к прямым NN' и LL' соответственно.Пусть ∠A = α, ∠C = γ, AK = BL = x, CN = BM = y. Тогда AK' = x cos α , CN' = y cos γ, L'M' = MF = x cos α + y cos γ = AK' + CN'.Тогда KN ≥ KE, LM ≥ MF, следовательно, KN + LM ≥ KE + MF = K'N' + L'M' = K'N' + AK' + CN' = AC.