Олимпиадная задача по планиметрии: точки пересечения прямых в треугольнике АВС (9–10 классы)
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Разобрать решение
Опустим перпендикуляр из точки О1 на сторону ВС (см. рис.). Основание этого перпендикуляра – точка А0 – является серединой стороны ВС.
Продолжим отрезок АО1 до пересечения со стороной ВС в точке А1. О1 – середина отрезка АА1.
Проведём в треугольнике АВС высоту АА2. Так как О1А0 || АА2, то точка А0 является серединой отрезка А1А2. Таким образом, точки А1 и А2 симметричны относительно точки А0, значит СА1 = BA2 и BА1 = CA2.
Рассмотрев аналогичным образом прямыеВО2иСО3, получим, что CB1=AB2, AB1=CB2, AС1=BC2 и
BС1=AC2, гдеВ1иC1– точки пересечения этих прямых с противолежащими сторонами, аВ2иС2– основания соответствующих высот.
Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы 
Используя доказанные равенства, получим 
Это и означает, что прямыеАО1,ВО2иСО3пересекаются в одной точке.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.