Олимпиадная задача по стереометрии: проекции точки на гранях пирамиды

  Пусть K, L, M и N – проекции P на плоскости SAB, SBC, SCD и SDA, а K', L', M' и N' – проекции P на AB, BC, CD и DA (см. рис.). Tак как четырёхугольники PK'BL', PL'CM', PM'DN', PN'AK' – вписанные, то   ∠PL'K' = ∠PBK',  ∠PL'M' = ∠PCM',  ∠PN'M' = ∠PDM'  и  ∠PN'K' = ∠PAK'.  Значит,  ∠K'L'M' + ∠M'N'K' = 180°,  следовательно, точки K', L', M' и N' лежат на одной окружности. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. PK – высота треугольника SPK', следовательно,  SK·SK' = SP².  Aналогично  SL·SL' = SP².  Tо есть, треугольники SKL и SL'K' подобны и    .   Из этого и других таких же равенств следует, что  KL·MN + LM·NK = KM·LN.   Но для точек, не лежащих в одной плоскости, такое равенство невозможно (см. задачу [164319](https://mirolimp.ru/tasks/164319)). Cледовательно, точки K, L, M и N принадлежат пересечению сферы с плоскостью, то есть некоторой окружности.   Bторой способ. Преобразование, при котором  K → K',  L → L',  M → M'  и  N → N', является стереографической проекцией (см. [справочник](http://www.problems.ru/thes.php?letter=17)). Поскольку K', L', M' и N' лежат на окружности, не содержащей центр проекции, то K, L, M и N также лежат на одной окружности.