Олимпиадная задача по планиметрии: трапеция ABCD и перпендикуляры, 8-9 класс
B трапеции ABCD AB = BC = CD, CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из H на AC, проходит через середину BD.
Разобрать решение
Пусть BC – меньшее основание трапеции. Из равенства сторон трапеции следует равенство углов: ∠CAD = ∠CAB = ∠BCA = ∠DBC = ∠CDB = ∠BDA.
Далее можно рассуждать по-разному: Первый способ. Пусть M – основание перпендикуляра, опущенного из H на AC, а N – точка его пересечения с отрезком BD.
Тогда ∠MHC = 90° – ∠MCH = ∠CAH, то есть четырёхугольник NHDC – вписанный.
Следовательно, ∠CND = ∠CHD = 90°, то есть
CN – высота равнобедренного треугольника BCD. Значит, N – середина BD. Второй способ. Пусть N – середина BD,
M — основание перпендикуляра, опущенного из N на AC, а H – точка его пересечения с отрезком D, K – точка пересечения CN и AD.
Точка N лежит на средней линии трапеции, следовательно, CN = NK. Учитывая, что ∠NKH = 90°–∠BDA = 90° – ∠CAH = ∠NHK, получим
CN = NK = NH, то есть ∠CHK = 90°, что и требовалось. Третий способ. Пусть N и F – середины диагоналей BD и AC, прямая BF пересекает основание AD в точке E.
Тогда BF⊥AC, то есть в треугольникеABEотрезокAFявляется высотой и биссектрисой. Следовательно,ABCE– ромб. ТреугольникECD– равнобедренный, следовательно,H– серединаED. HN || BE⊥AC как средняя линия треугольникаBDE.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.