Олимпиадная задача по планиметрии: отрезок MK и диагональ прямоугольника ABCD
Биссектриса угла B и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую AB в точках M и K соответственно.
Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.
Разобрать решение
Заметим, что ∠ABM = ∠AMB = ∠ADK = ∠AKD = 45° (см. рис.). Значит, AB = AM, AD = AK. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Прямоугольные треугольники BAD и
MAK равны по двум катетам, поэтому BD = MK. Из равенства ∠ABM = ∠AKD = 45° получим,
что BM ⊥ DK. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то KM — высота треугольника ABD. Bторой способ. При повороте вокруг точки A на 90°
треугольник AMK переходит в треугольник ABD, следовательно,
BD = MK и BD ⊥ MK.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.