Олимпиадная задача по планиметрии: перпендикулярность DH и медианы BM в треугольнике ABC

Заметим, что B — точка пересечения высот треугольника AHC , поэтому отрезок BH вдвое больше расстояния от центра O описанной окружности треугольника AHC до стороны AC . Пусть K — середина BH . Тогда BK=OM и BK || OM , значит, BMOK — параллелограмм, поэтому BM || OK . Из точек A1и C1отрезок BH виден под прямым углом, значит, точки A1, B1, B и H лежат на окружности Ω с диаметром BH . Пусть прямая DH вторично пересекает эту окружность в точке P . Тогда DH· DP = DC1· DA1 = DA· DT , т.к. точки A1, C1, A и C — также лежат на одной окружности. Значит, точка P лежит на описанной окружности треугольника AHC . Таким образом, отрезок HP — общая хорда окружности Ω с центром K и описанной окружности треугольника AHC , а т.к. общая хорда пересекающихся окружности перпендикулярна их линии центров, то HP OK . Следовательно, DH BM . Что и требовалось доказать.