Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение прямых, построенных по медианам треугольника
На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C1 – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM1 и BM2. Точки A1 и B1 определяются аналогично. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Разобрать решение
Pассмотрим окружности, построенные как на диаметрах на медианах AM1 и BM2 треугольника ABC. Пусть C1 и C2 – точки пересечения этих окружностей (см. рис.).
ПустьH1иH2– вторые точки пересечения этих окружностей со сторонамиBCиACтреугольника. Тогда ∠AH1M1= ∠BH2M2= 90°, поскольку они опираются на диаметры, то есть,AH1иBH2– высоты треугольникаABC. ТреугольникиCABиCH1H2подобны, следовательно, CH1:CH2=AC:BC = CM2:CM1 то есть CM2·CH1=CM2·CH2. Это значит, что точкаCлежит нарадикальной осиуказанных окружностей, то есть на прямойC1C2. Аналогично прямыеAA1иBB1являютсярадикальными осямидругих пар окружностей. Таким образом, прямыеAA1,BB1иCC1пересекаются врадикальном центретрёх данных окружностей.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.