Олимпиадная задача по планиметрии для 10-11 класса от Протасова В. Ю.

Пусть K и M – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC и BC соответственно, I – центр вписанной окружности, O – точка пересечения перпендикуляра ML и прямой IC (см. рис.). Докажем, что O – центр вписанной окружности треугольника A₁B₁C. Для этого достаточно доказать, что длина отрезка OL равна радиусу этой окружности. Из подобия прямоугольных треугольников COL и CIK следует, что  OL : IK = CL : CK.  Поскольку  CK = CM  и  ^CL/_CM = cos∠C,  то  OL = IK cos∠C.  Теперь все следует из того, что треугольники A₁B₁C и ABC подобны с коэффициентом cos∠C.