Олимпиадная задача по планиметрии: равенство углов в треугольнике (8-9 класс)

  Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно,  ∠B = ∠A₁B₁C = ∠MA₁B₁.  Аналогично  ∠B = ∠AKB₁.  Следовательно, четырёхугольник MKA₁B₁ – вписанный. Тогда  ∠KB₁M = ∠KA₁M.  Из параллельности прямых и равенства вписанных углов в четырёхугольнике ABA₁B₁ получим, что  ∠MA₁A = ∠A₁AB₁ = ∠B₁BA₁ = ∠KB₁B.  Следовательно,  ∠BB₁M = ∠BB₁K + ∠KB₁M = ∠MA₁A + ∠KA₁M = ∠AA₁K.

  В случае, когда точкиMиKрасполагаются на сторонеABв другом порядке, решение аналогично, только искомые углы являются не суммой рассмотренных углов, а их разностью.