Олимпиадная задача по планиметрии: квадрат и прямоугольник с общим углом, 8–9 класс

Первый способ. Пусть ABCD и AB₁C₁D₁ – данные квадрат и прямоугольник (см. рис. а). Заметим, что достаточно будет доказать, что точка O – середина отрезка B₁D₁ равноудалена от прямых AB и BC. Из условия следует, что AB₁ + AD₁ = AB + AD , то есть BB₁ = DD₁. Пусть O и OK – перпендикуляры, опущенные на стороны AB и BC соответственно.

Рис. аРис. б Тогда OM = ¹/₂AD₁, как средняя линия треугольника AB₁D₁, а OK = ¹/₂AB₁ – BB₁. Учитывая, что BB₁ = DD₁ и AD = AB, получим: OK= ¹/₂AB₁ – BB₁ = ¹/₂(AB + BB₁) – BB₁ = ¹/₂AD₁. То есть O лежит на диагонали BD квадрата ABCD. Второй способ. Выберем декартову систему координат так, чтобы общая вершина A квадрата ABCD и прямоугольника AB₁C₁D₁ была началом координат, а обе фигуры лежали в I координатной четверти (см. рис. б). Тогда B₁(0; b ), C₁(a; b), D₁(a; 0). Точка O пересечения диагоналей прямоугольника имеет координаты . Прямая BD задается уравнением X + Y = C. По условию 2(a + b) = 4c, где c – сторона квадрата, то есть . Следовательно, прямая BD содержит точку O.