Олимпиадная задача по планиметрии: построение ромба из параллелограмма (8-9 класс)

Пусть ABCD  – данный параллелограмм, P  – точка пересечения его диагоналей. Отметим на сторонах BC и AD точки X и Y так, как показано на рисунке, Z  – основание перпендикуляра, опущенного из точки X на прямую AD. Применив для треугольника XYZ теорему Пифагора, получим, что . Тогда из четырехугольников ABXY и YXCD можно сложить ромб A₁B₁XY.

Отметим, что такая прямая существует для любого параллелограмма. Действительно, пусть в параллелограмме ABCD AB < BC и ∠ABC  – не острый (см. рис. ниже). Тогда существует отрезок XY с концами на сторонах BC и AD, равный BC. Для того, чтобы его построить, достаточно провести окружность с радиусом, равным ¹/₂BC, и центром в точке P. Она пересечет отрезок BC хотя бы в одной точке, поскольку расстояние от точки P до прямой BC не больше, чем ¹/₂ AB, т. е. не больше, чем ¹/₂BC, а PC > ¹/₂BC.