Олимпиадная задача: разрезание вписанного n-угольника на равные треугольники (планиметрия, Френкин Б. Р.)

Решение 1:   Первый способ. Рассмотрим треугольники разбиения ABC и ACD, примыкающие к диагонали AC. Четырёхугольник ABCD – вписанный, поэтому

∠ABC + ∠ADC = 180°. Так как треугольники ABC и ACD равны, то  ∠ABC = ∠ADC = 90°,  то есть AC – диаметр описанной окружности.

  Если какой-то из отрезков AB, BC, CD, AD является диагональю разбиения n-угольника, то аналогично получаем, что это диаметр. Тогда через вершину A или C проходит более одного диаметра, что невозможно. Значит, все эти отрезки – стороны n-угольника, откуда  n = 4.  Этот случай возможен, например для прямоугольника.

Решение 2:   Если центр описанной окружности O не принадлежит P, то нельзя разрезать P на равные треугольники. Действительно, ближайшая к O сторона, как нетрудно видеть, больше всех остальных, но во всех треугольниках разбиения должны быть равные ей стороны. Противоречие.

  Если же O принадлежит P, то O либо содержится в остроугольном треугольнике разбиения, либо лежит на границе двух прямоугольных. Остальные треугольники разбиения должны быть тупоугольными. Но все треугольники разбиения равны, поэтому тупоугольных нет и, значит, всего треугольников не больше двух. Так как  n > 3,  то получаем  n = 4.