Олимпиадная задача про биссектрисы и трапецию с перпендикулярными диагоналями

Пусть KLMN  – четырёхугольник, образованный биссектрисами (см. рис.). Так как AK и BK – биссектрисы смежных углов трапеции, то  ∠LKN = 90°.  Аналогично  ∠LMN = 90°.  Следовательно,  LK² + KN² = LM² + MN². С другой стороны, из перпендикулярности диагоналей получаем, что

KL² + MN² = KN² + LM².  Из этих двух равенств следует, что  KL = LM  и  MN = NK,  а значит,  ∠NKM = ∠NMK.  Но точки K, M, как точки пересечения биссектрис смежных углов, равноудалены от оснований трапеции, то есть  KM || AD.  Поэтому  ∠CAD = BDA,  и трапеция равнобокая.