Олимпиадная задача по планиметрии: площадь треугольника в конструкции с биссектрисой

Первый способ. Проведём через точку $B$ прямую, параллельную $AC$ до пересечения с биссектрисой угла $C$ в точке $N$ (см. рис.). Так как $\angle BNC = \angle ACN = \angle BCN$, то треугольник $BCN$ – равнобедренный и $BM$ – его медиана. Следовательно, $S_{AMC} = \frac12 S_{ANC} = \frac12 S_{ABC} = \frac12.$

Второй способ. Так как $S_{AMC} = \frac12 AC \cdot CM \sin \angle \frac{C}2$ и $CM = BC \cos \angle \frac{C}2$, то $$S_{AMC} = \frac14 AC \cdot BC \sin \angle C = \frac12 S_{ABC} = \frac12.$$ Третий способ. Продлим $BM$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $D$. Заметим, что в треугольнике $BCD$ биссектриса $CM$ также является высотой, а значит, и медианой, то есть $BM = MD$. Но тогда $S_{ADM} = S_{AMB}$ и $S_{CDM} = S_{CMB}$, откуда $$S_{AMC} = \frac12 S_{ADB} + \frac12 S_{CDB} = \frac12 S_{ABC} = \frac12.$$