Олимпиадная задача по планиметрии: неравенство для четырёхугольника ABCD
Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.
Разобрать решение
Из условия следует, что ∠BAC + ∠BCD = ∠ACD + ∠BAD = 180°. Значит, ∠BCA = ∠CAD, то есть AD || BC и отрезок, соединяющий середины AB и CD, является средней линией трапеции и равен ½ (AD + BC). Кроме того, так как ∠ACD = ∠ABC и ∠BAC = ∠CDA, то ABCD – не параллелограмм, а треугольники ABC и DCA подобны. Следовательно, AC² = AD·BC, и утверждение задачи вытекает из неравенства Коши.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.