Задача № 2158638, 9, 10, 11 классы3 / 5

Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8-11 классов от Глазырина

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство где k и l – некоторые целые числа.

Разобрать решение

Из условия следует, что для любых i, j скалярное произведение является половиной целого числа. Значит, для любых целых чисел m₁, ..., m_n длина вектора – корень из натурального числа. Отметим на плоскости точки, являющиеся концами всех таких векторов. Пусть X – ближайшая к O из отмеченных точек, Y – ближайшая к O из отмеченных точек, не лежащих на прямой OX. Разобьём плоскость на параллелограммы, образованные векторами и В силу выбора точек X, Y все отмеченные точки будут вершинами параллелограммов разбиения, следовательно, векторы x, y – искомые.