Олимпиадная задача по планиметрии: ромб CKLN в треугольнике ABC, 8-11 классы
В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N – на стороне AC, точка K – на стороне BC. Пусть O1, O2 и O – центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки O1, O2, O и P лежат на одной окружности.
Разобрать решение
Очевидно, что CL – биссектриса, а прямые LN, LK параллельны сторонам BC, AC. Поэтому ∠AO1L = 2∠ACL = ∠C = ∠ANL, то есть точка O1 лежит на описанной окружности треугольника ANL и является серединой дуги ANL этой окружности. Следовательно, O1PL = π – ∠O1AL = ½ (π + ∠C). Аналогично ∠O2PL = ½ (π + ∠C). Значит, ∠O1PO2 = π – C. Но угол O1OO2 также равен π – ∠C, потому что прямые OO1, OO2 являются серединными перпендикулярами к AC и BC (см. рис.).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.