Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, H – ортоцентр, C₀ – середина стороны AB. Тогда     и так как C₀ лежит внутри описанной окружности,  CH < 2OC.  Точки, удовлетворяющие этому условию, лежат вне окружности, диаметрально противоположными точками которой являются точка M, делящая отрезок OH в отношении  1 : 2  (точка пересечения медиан, см. задачу 155595), и точка M', симметричная H относительно O. Для таких точек C искомый треугольник строится следующим образом: построим точку C₀ как образ C при гомотетии с центром M и коэффициентом –½, проведём через неё прямую, перпендикулярную CH, и найдём точки A, B пересечения этой прямой и окружности с центром O и радиусом OC.

  Однако это построение может привести к вырожденному треугольнику, у которого точки A, B, C лежат на одной прямой. Это происходит, когда

∠OC₀C = ∠MCH = 90°,  то есть точка C лежит на окружности с диаметром MH. Исключением является сама точка H, для которой искомый треугольник существует, – это может быть любой прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диаметр окружности с центром O и радиусом OH.