Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство средней точки отрезка в треугольнике
Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.
Разобрать решение
Как известно, если G – точка пересечения медиан некоторого треугольника XYZ, то для произвольной точки Р выполняется равенство: 
Рассмотрим векторы a, b и c, начало каждого из которых расположено в точке Р, а конец – на основании перпендикуляра, опущенного из точки Р на соответствующую сторону треугольника ABC. Нам нужно доказать, что 
то есть, что 
Для доказательства рассмотрим еще шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку Р.
Начало каждого такого вектора расположено в точкеР, а конец – на одной из сторон треугольника. (На рисунке изображен случай, когда точкаРлежит внутри треугольника.) Через эти векторы легко выразить как векторы, соединяющиеРс вершинами, так и векторы с концами в основаниях перпендикуляров – поскольку параллельные линии разбивают треугольник на правильные треугольники и параллелограммы. Из рисунка видно, что указанное равенство выполняется. Легко убедиться в и том, что эти рассуждения проходят и в случае, когда точкаРрасположена вне треугольникаАВС.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.