Олимпиадная задача по планиметрии: квадраты и прямоугольники вокруг четырёхугольника
Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника ABCD, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)
Показать ответ
Верно.
Разобрать решение
Лемма. Пусть точки A и C лежат на одной паре противоположных сторон квадрата, а B и D - на другой. Тогда условия AC ⊥ BD и AC = BD являются равносильными (рис. слева).
Доказательствосразу следует из равенства прямоугольных треугольников, показанных на рисунке. Проведём в нашем четырёхугольнике, вписанном в два квадрата, из точки A прямую, перпендикулярную BD и отметим её точки пересечения с соответствующими сторонами квадрата: C1 и C2 (рис. справа).
Из леммы вытекает, что AC1 = BD и AC2 = BD, то есть точки C1, C2 совпадают. Но у двух сторон квадратов, содержащих эти точки, имеется только одна общая точка – C. Значит, построенный нами перпендикуляр совпадает с AC, и, следовательно, диагонали четырёхугольника ABCD равны и перпендикулярны. Очевидно, что если четырёхугольник с таким свойством вписан в прямоугольник, то прямоугольник является квадратом.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.