Олимпиадная задача по планиметрии: закрашенные треугольники в треугольнике ABC для 8-9 класса
Сторону AB треугольника ABC разделили на n равных частей (точки деления B0 = A, B1, B2, Bn = B), а сторону AC этого треугольника разделили на
n + 1 равных частей (точки деления C0 = A, C1, C2, ..., Cn+1 = C). Закрасили треугольники CiBiCi+1. Какая часть площади треугольника закрашена?
Разобрать решение
Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек B1, ..., Bn опустим перпендикуляры на сторону AC. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников CiBiCi+1 с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия, hi = ih1. Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади окрашенных треугольников: Si = iS1. (На рисунке изображен случай n = 4.)
Опустив затем перпендикуляры из точекC1, ...,Cnна сторонуAC, и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Осталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высотаh1общая).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.