Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место точек в треугольнике ABC
Имеются две параллельные прямые p1 и p2. Точки A и B лежат на p1, а C – на p2. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
а) точками пересечения высот;
б) точками пересечения медиан;
в) центрами описанных окружностей.
Показать ответ
Во всех случаях получится прямая с выколотой точкой, которая соответствует случаю, когда треугольник вырождается в отрезок.
Разобрать решение
а) Очевидно, получается прямая, перпендикулярная BC и проходящая через вершину A.
б) Ответом будет прямая, параллельная данным прямым и делящая отрезок с концами на этих прямых в отношении 1 : 2, считая от p1 (рис. справа). В самом деле, если отрезок BC движется с постоянной скоростью, то и его середина движется с постоянной скоростью. Точка пересечения медиан делит отрезок, соединяющий вершину А с серединой ВС, в постоянном отношении 2 : 1 и, следовательно, также будет двигаться с постоянной скоростью по указанной прямой. в) Первый способ. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC также движутся с постоянными скоростями. Значит, и точка их пересечения (центр описанной окружности) будет перемещаться по прямой (рис. слева).
Второй способ. Рассмотрим отрезок AC0 (в который вырождается треугольник при совпадении точек A и B) и симметричный ему относительно перпендикуляра, опущенного на p2 из точки A, отрезок AK. Тогда ABCK – равнобокая трапеция, следовательно, точка K лежит на описанной окружности треугольника ABC (рис. справа). Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляром к отрезку AK.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.