Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место середин хорд, 8–11 класс
Дана окружность и точка К внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку К, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.
Показать ответ
Окружность с центром в середине OK (O – центр исходной окружности) и радиусом, равным половине радиуса данной окружности).
Разобрать решение
Пусть R – радиус данной окружности, PQ – общая хорда, M – её середина, а O1 – центр выбранной произвольно окружности. OPO1Q – ромб, поэтому M будет также серединой OO1. Далее можно рассуждать по-разному. Первый способ. Средняя линия MM1 треугольника ОKO1 равна половине KO1, то есть R/2. Таким образом, все середины хорд лежат на окружности с центром в середине OK и радиусом R/2 (рис. слева).
Несложно также проверить, что любая точка этой окружности является серединой некоторой хорды.
Второй способ. Центры окружностей, равных данной и проходящих через точку K, лежат на окружности с центром в точке K радиуса R (рис. справа). Поэтому искомое ГМТ есть образ окружности, образованной центрами, при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом ½.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.