Олимпиадная задача по планиметрии: площадь треугольника внутри трапеции для 8-9 классов
Площадь трапеции ABCD равна 405. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Показать ответ
45/4 или 36/5.
Разобрать решение
Пусть AD = 2BC (рис. слева). Тогда SACD : SBAC = 2 : 1, то есть SACD = ⅔ SABCD = 270, SAОD = ⅔ SACD = 180.
Четырёхугольники ABCP и BCDP – параллелограммы, поэтому M и N – середины BP и CP. Так как OA : OC = 2 : 1, то OM : OA = 1 : 4. Аналогично ON : OD = 1 : 4.
Значит, треугольники MON и AOD подобны с коэффициентом ¼. Следовательно, SMON = 1/16 SAOD = 45/4.
В случае, когда BC= 2AD (рис. справа), SACD= ⅓SABCD= 135, SAОD= ⅓SACD= 45. ТреугольникAMP– треугольникуCMBс коэффициентом ¼. Значит, AM= ⅕AC= ⅗AO, то есть OM:OA= 2 : 5. Аналогично ON:OD= 2 : 5. Следовательно, SMON=4/25SAOD=36/5.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.