Олимпиадная задача по планиметрии: нахождение биссектрисы треугольника классы 8-9

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC , в котором AB=6, AC=3, BAC = 60^o .

Обозначим AD=x . Тогда

S_{Δ ABC}= AB· AC sin 60^o= · 6· 3· = .

С другой стороны,

S_{Δ ABC}=S_{Δ ABD}+S_{Δ ACD}= AB· AD sin 30^o+ AC· AD sin 30^o= · 6· x· + · 3· x· = x.

Из уравнения x= находим, что x=2 .

Заметим, что треугольник ABC прямоугольный. Тогда треугольник ACD также прямоугольный, причём CAD = 30^o . Следовательно,

AD= = = 2.