Олимпиадная задача по планиметрии: биссектрисы в параллелограмме для 8-9 классов

  Рассмотрим случай, когда AM и DN – биссектрисы углов при вершинах A и D параллелограмма ABCD (рис. слева).

  Треугольник ABM – равнобедренный, так как  ∠AMB = ∠MAD = ∠BAM,  поэтому  BM = AB = 3.  Тогда  MN = 15.  Аналогично, треугольник DCN – также равнобедренный и  CN = CD = AB = 3.  Следовательно,  BC = BM + MN + CN = 3 + 15 + 3 = 21.

  Пусть теперь биссектрисы углов при основанииAD– это лучиANиDM(рис. справа). Тогда треугольникиABNиDCN– равнобедренные, CM = CD = AB= 3, BN = AB= 3.  Тогда  BM= ½, BC = BM + CM= 3,5.