Олимпиадная задача по планиметрии: точка пересечения биссектрис в треугольнике
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.
Разобрать решение
Для решения задачи достаточно установить, что 
MAI = MNI (см. рис.) Пусть K — середина отрезка AD .
Заметим, что MNI = KNI = 90o - KIN = 90o - ( ACI + CAI) = 
(180o - ( ACB + BAC)) = ABC .
Остаётся установить, что MAI = ABC . Пусть M' — точка пересечения окружности,
описанной около треугольника ABD , с серединным перпендикуляром к отрезку AD (точка M' лежит на дуге AD , не содержащей точку B ). Тогда AM' = DM' , а значит, и M'BD = M'BA , как опирающиеся на равные дуги. Это означает, что точка M' лежит на биссектрисе угла ABC и, следовательно, M' совпадает
с M . Итак, точки A , M , D и B лежат на одной окружности, откуда MAI = MBD = ABC , что
и требовалось.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.