Олимпиадная задача по стереометрии: объёмы тетраэдров в пирамиде SABCD

Пусть X  — точка пересечения луча SO с плоскостью ABCD (см. рис.). Так как точка O лежит внутри пирамиды, то точка X лежит внутри ее основания. При этом S_XAB + S_XCD = S_XBC + S_XDA (одно из возможных доказательств этого факта усматривается из рис. — каждая из сумм равна половине площади параллелограмма ABCD ). Следовательно, V_XSAB + V_XSCD = V_XSBC + V_XSDA , (1) так как высота этих пирамид, опущенная из вершины S , общая. Аналогично, V_XOAB + V_XOCD = V_XOBC + V_XODA . (2) Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем требуемое.