Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы окружностей треугольников в трапеции

Обозначим ADC = a , BCD = b . По теореме синусов

2R1 = , 2R2 = .

Перемножив почленно эти равенства, получим, что

4R1R2 = .

Пусть R3и R4— радиусы описанных окружностей треугольников ABD и ABC соответственно. Аналогично предыдущему докажем, что

4R3R4 = = .

Следовательно,4R1R2=4R3R4. Теперь достаточно доказать, что4R3R4 AB2.

Заметим, что2R4 AB , т.к.2R4— диаметр описанной окружности треугольника ABC , а AB — хорда этой же окружности. Аналогично2R3 AB . Перемножая эти два неравенства, получим, что4R3R4 AB2.