Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: доказательство неравенства в четырёхугольнике

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна180^o и ABC> ADC , поэтому

ADC = 180^o- ABC = 180^o - = 180^o - (360^o- ABC) =

=180^o - (360^o- AOC)= AOC = · 110^o= 55^o, ABC = 180^o-55^o = 125^o.

Тогда

ABC + BAD = 125^o+110^o> 180^o,

значит, продолжения сторон AD и BC за точки A и B пересекаются в некоторой точке K , причём эта точка и четырёхугольник ABCD лежат по разные стороны от прямой AB .

В треугольнике AKB известно, что

KAB = 180^o- DAB = 180^o-110^o= 70^o,

KBA = 180^o- ABC = 180^o-125^o= 55^o,

AKB = 180^o- 70^o-55^o= 55^o,

значит, этот треугольник — равнобедренный, AK=AB .

В треугольнике CKD известно, что

CKD = 55^o, DCK = KAB = 70^o> CKD,

значит, DK>CD , а т.к. DK=AD+AK=AD+AB , то AB+AD>CD . Что и требовалось доказать.