Олимпиадная задача по планиметрии: окружность и средняя линия треугольника ABC
Окружность, проходящая через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC , пересекает гипотенузу AC в точке X . Касательные к этой окружности, проведённые в точках X и B , пересекаются в точке Y . Докажите, что точка Y лежит на средней линии треугольника ABC , параллельной стороне BC , или на её продолжении.
Разобрать решение
Пусть M — середина гипотенузы AC . Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка X между M и C ). Нам достаточно доказать, что MY || BC .
Обозначим 
ACB = g . Треугольник BMC —
равнобедренный, поэтому MBC = MCB = g ,
а по теореме о внешнем угле треугольника AMB =
2g .
Треугольник BXY — также равнобедренный, т.к. YB=YX как
касательные, проведённые к окружности из одной точки.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует,
что BXY = XBY = BCX = g , поэтому BYX = 180o-2g = XMB ,
значит, точки B , Y , X и M лежат на одной окружности.
Вписанные в эту окружность углы BMY и BXY опираются на
одну и ту же дугу, поэтому
BMY = BXY = g = MBC.
Следовательно, MY || BC . Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка M расположена между X и C .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.