Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: найти угол C в треугольнике

  Как известно, треугольник CA₁B₁ подобен треугольнику CAB с коэффициентом подобия   cos∠C.

  Будем считать, что точка L лежит на продолжении стороны AB за точку B. Докажем, что точка C лежит между K и L. Допустим, что это не так. Тогда, если P – точка на продолжении стороны AC за точку C, а Q – точка на продолжении стороны AB за точку A, то  ∠A₁CK = ∠LCP,

∠CA₁K = 180° – ∠CA₁B₁ = 180° – ∠CAB = ∠CAQ,  значит, сумма двух углов треугольника CA₁K равна сумме двух внешних углов треугольника ACL, то есть больше 180°. Противоречие.

  Заметим, что углы треугольников CAL и CA₁K при вершине C равны. Кроме того,  ∠A = ∠CA₁B₁. Значит, эти треугольники подобны. Поэтому

cos∠C = ^CA1/_CA = ^CK/_CL = ½.