Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: доказательство коллинеарности точек A, F и C
Окружности S1и S2касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1и S2в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2в точке C и пересекает S1в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.
Разобрать решение
Радиусы O2B и O2C окружности S2перпендикулярны
параллельным прямым — касательным к окружности S2, значит, BC — диаметр окружности S2. Поэтому
BFC =
90o .
Пусть общая касательная к окружностям S1и S2,
проходящая через точку F ,
пересекает прямую l в точке M . Тогда MB=MF=MA , т.е.
медиана FM треугольника AFB равна половине стороны AB . Следовательно, треугольник AFB — прямоугольный, AFB = 90o . Таким образом,
AFC = AFB+ BFC = 90o+
90o = 180o,
т.е. точки A , F и C лежат на одной
прямой.
Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом,
равным -
, где r1и r2—
радиусы окружностей S1и S2соответственно.
При этой гомотетии окружность S1переходит в
окружность S2, а касательная l к окружности S1— в параллельную l касательную к окружности S2.
Следовательно, точка A переходит в точку C , поэтому
точка F лежит на отрезке AC .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.