Олимпиадная задача по планиметрии: прямая XY и угол BAC в треугольнике ABC
Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K– середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (не содержащей точки C). Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?
Показать ответ
120°.
Разобрать решение
Пусть отрезки XY и AI пересекаются в точке S. Как известно, KI = KA (см. задачу 153119), то есть высота KT треугольника AKI является его медианой. Так как XY ⊥ AI, то XY || KT, а поскольку XY делит сторону AK пополам, то XY– средняя линия треугольника AKT. Значит, AS : ST = 1 : 3; при этом XS – высота прямоугольного треугольника AXI, откуда AS/ST = (AX/XI)², 
Значит, ∠XAI = 60° и ∠BAC = 2∠XAI = 120°.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.