Олимпиадная задача по планиметрии: точка пересечения медиан и высот в треугольнике

  ПустьA'B'C'– треугольник, образованный проведёнными прямыми (см. рис.) иG– точка пересечения его медиан. Мы докажем, чтоMявляется серединой отрезкаGH.   Достроим треугольникBMCдо параллелограммаBMCA₁. ОтрезокMA₁делит сторонуBCпополам, поэтомуA₁лежит на прямойAM, причём AM = A₁M.  Кроме того,  BA₁||MC⊥A'B'  и  CA₁||MB⊥A'C',  поэтомуBA₁иCA₁– высоты треугольникаBA'C. Значит,A₁– ортоцентр этого треугольника и  A'A₁⊥BC.   Стороны треугольникаBA₁Mперпендикулярны сторонам треугольникаA'B'C'соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причём соответствующие прямыеBCиAG, содержащие медианы этих треугольников, перпендикулярны. Значит, прямаяA'Gсовпадает с прямойA'A₁. ПустьG'– точка, симметричная точкеHотносительноM. ТреугольникиAHMиA₁G'Mсимметричны относительноM, поэтому  A₁G' || AH⊥BC.  Отсюда следует, чтоG'лежит на прямойA'G. АналогичноG'лежит на прямойB'G, то естьG'совпадает сG.