Олимпиадная задача по планиметрии: параллельность прямых в треугольнике ABC, 8–10 класс
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B0 – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A1C1 пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB0 и PQ параллельны.
Разобрать решение
Пусть точка O1 – середина отрезка BH. Точки A1 и C1 лежат на окружности с диаметром BH, то есть с центром в точке O1.
Как известно, треугольникиA1BC1иABCподобны.BQиBP, а такжеBO1иBO – пары соответствующих отрезков в этих треугольниках, значит, BO1:BO = BQ:BP, следовательно, OO1||PQ. ПустьB'– точка описанной окружности треугольникаABC, диаметрально противоположная точкеB; тогдаO– середина отрезкаBB', а ∠ACB'= ∠BCB'– ∠C= 90° – ∠C= ∠A1AC . Следовательно, AA1||CB'. Аналогично CC1||AB'. Таким образом,AHCB'– параллелограмм,B0– его центр и, значит, лежит на диагоналиHB'. В треугольникеBHB'отрезокOO1является средней линией, поэтому OO1||HB0. Итак, HB0||OO1||PQ.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.