Олимпиадная задача по планиметрии для 9–10 классов от Акопяна А. В.: Докажите равенство OM и ON
Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что AQ ⊥ OP. Прямая OP пересекает описанные окружности ω1 и ω2 треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что OM = ON.
Разобрать решение
Пусть окружности ω1 и ω2 пересекают лучи AB и AC в точках D и E соответственно. По теореме о произведении отрезков секущих
AB·AD = AP·AQ = AC·AE. Так как AB = AC, то AD = AE. Пусть K – середина DE. Тогда прямая AK является медианой, высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника ADE, в частности, AK проходит через O.
ТочкиA, B, C, P, Oлежат на окружности с диаметромAO. Из вписанных четырёхугольниковABPC, BPQD, CPQE: ∠PQD= 180° – ∠PBD= ∠ABP= 180° – ∠ACP= ∠PCE= 180° –PQE, поэтому точкаQлежит на отрезкеDE. Так как четырёхугольникPQDMвписанный, то ∠MDQ= ∠MPQ= 90°, отсюда MD⊥DE. Аналогично NE⊥DE. Таким образом, MD || OK || NE и DK = KE. Следовательно, OM = ON.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.