Олимпиадная задача по планиметрии и теории чисел для 7-9 классов: Диагонали многоугольника
Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике (n > 1). Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?
Показать ответ
При нечётном n выиграет второй, при чётном – первый.
Разобрать решение
Заметим, что по одну сторону от каждой диагонали находится чётное число вершин, а по другую – нечётное. Поэтому каждую диагональ пересекает чётное число других диагоналей (2n+1)-угольника. Пусть в некоторый момент игры невозможно сделать ход, тогда каждая непроведённая диагональ пересекает нечётное число уже проведённых, а следовательно, и нечётное число непроведённых диагоналей. Такая ситуация возможна только тогда, когда непроведённых диагоналей чётное число (см., например, зад. 130425).
Таким образом, если общее количество диагоналей в многоугольнике нечётно, то выиграет первый, а если чётно – второй. В (2n+1)-угольнике число диагоналей равно (2n + 1)(n – 1) (см. зад. 160391), то есть нечётно при чётном n и чётно при нечётном n.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.