Олимпиадная задача по планиметрии: касательные к пересекающимся окружностям, 9–10 класс
Две окружности σ1 и σ2 пересекаются в точках A и B . Пусть PQ и RS – отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки P и R лежат на σ1 , точки Q и S – на σ2 ). Оказалось, что RB|| PQ . Луч RB вторично пересекает σ2 в точке W . Найдите отношение RB/BW .
Разобрать решение
1/3.
Пусть X – точка пересечения прямых AB и PQ . Тогда XP2=XA· XB=XQ2 , т.е. X – середина PQ .
Прямые AB и PR параллельны, так как обе эти прямые перпендикулярны линии центров окружностей σ1 и σ2 .
Из условия теперь получаем, что четырехугольник PXBR – параллелограмм, откуда BR = XP=
PQ = RS (последнее– из симметрии PQ и RS ).
Далее, так как RS – отрезок касательной к σ2 , то RB· RW = RS2=(2RB)2 ,
откуда RW=4RB . Значит, RB/BW = 1/3.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.