Олимпиадная задача о фокуснике и цифрах для 9-11 классов: системы счисления и комбинаторика

  Предположим, что при каком-то значении N фокус удастся. Тогда по каждому варианту последовательности с двумя закрытыми цифрами (пусть их количество равно k₁) фокусник может восстановить исходную; значит, каждой последовательности с двумя закрытыми цифрами фокусник однозначно может поставить в соответствие восстановленную последовательность из N цифр (пусть их количество равно k₂). Следовательно,  k₁ ≥ k₂.  Отметим, что  k₁ = (N – 1)10^N–2  (есть  N – 1  вариант вычеркнуть две цифры, а на остальные  N – 2  позиции есть по 10 вариантов на каждую). А  k₂ = 10^N .  Значит,  N – 1 ≥ 100,  то есть  N ≥ 101.

  Покажем, как выполнить фокус при  N = 101.  Пусть сумма всех цифр на нечётных позициях имеет остаток s от деления на 10, а сумма всех цифр на чётных позициях имеет остаток t от деления на 10 (позиции нумеруются слева направо числами от 0 до 100). Положим  p = 10s + t.  Пусть помощник закроет цифры, стоящие на позициях p и  p + 1.  Увидев, какие цифры закрыты, фокусник определит p, а следовательно, определит s и t. Отметим, что одна закрытая цифра стоит на нечётной позиции, а другая – на чётной. Таким образом, вычислив сумму открытых цифр на нечётных позициях и зная s, фокусник определит закрытую цифру, стоящую на нечётной позиции. Аналогично определяется закрытая цифра, стоящая на чётной позиции.