Олимпиадная задача по математике: цепочка простых чисел и делимость (7–9 класс, Сендеров В. А.)

  Предположим, что такие числа существуют. Пусть одно из чисел равно 2, скажем,  p₁ = 2.  Тогда последовательно получаем, что  p₂ = 3,  p₃ = 2,

p₄ = 3,  p₅ = 2,  ...,  p₂₀₀₇ = 2,  p₁ = 3.  Противоречие.

  Пусть все числа – нечётные простые, и p₁ – наибольшее из них. Пусть  p₂₀₀₇ = q ≤ p₁.  Тогда  q² – 1 = 2·2·^q–1/₂·^q+1/₂,  где все сомножители целые и не превосходят  ^q+1/₂ < q ≤ p₁.  Но это противоречит с тому, что  q² – 1  делится на p₁.