Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: свойства диагоналей четырёхугольника

Докажем сначала следующее утверждение: если $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ — площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то $S_1 \cdot S_3 = \S_2 \cdot S_4$.

Обозначим $S_{\Delta ABP} = S_1$, $S_{\Delta BCP} = S_2$, $S_{\Delta CDP} = S_3$, $S_{\Delta ADP} = S_4$. У треугольников $ABP$ и $BCP$ общая высота, проведённая из вершины $B$, поэтому $\frac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta BCP}} = \frac{AP}{CP}$.

Аналогично, $\frac{S_{\Delta ADP}}{S_{\Delta CDP}} = \frac{AP}{CP}$.

Поэтому $\frac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta BCP}} = \frac{S_{\Delta ADP}}{S_{\Delta CDP}}$, или $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_4}{S_3}$.

Следовательно, $S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_4$. Утверждение доказано.

Перейдём к нашей задаче. Из условия и доказанного утверждения следует, что

Умножим второе из этих равенств на 2 и вычтем результат из первого. Получим, что $(S_1-S_3)^2 = (S_2-S_4)^2$. Значит, либо $S_1-S_3=S_2-S_4$, либо $S_1-S_3=S_4-S_2$.

В первом из этих случаев $S_1+S_4=S_2+S_3$, т.е. $S_{\Delta ABD} = S_{\Delta BCD}$. Пусть $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно $A$ и $C$ на диагональ $BD$. У треугольников $ABD$ и $BCD$ общее основание $BD$, а т.к. они равновелики, то равны их высоты, опущенные на это основание, т.е. $AM=CN$. Если точки $M$ и $N$ совпадают, то всё доказано. Если же $M$ и $N$ различны, то прямоугольные треугольники $AMP$ и $CNP$ равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, $AP=CP$.

Во втором случае аналогично докажем, что $P$ — середина диагонали $BD$.