Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: параллелограмм в треугольнике
На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены равнобедренные подобные треугольники AB1C и AC1B внешним образом и BA1C внутренним образом. Докажите, что AB1A1C1 – параллелограмм.
Разобрать решение
Треугольник A1BC1 подобен треугольнику ABC, так как BC1 : AB = BA1 : BC и ∠A1BC1 = ∠ABA1 + ∠ABC1 = ABA1 + CBA1 = ∠B.
Аналогично подобны треугольники B1A1C и ABC. Значит, треугольники A1BC1 и B1A1C подобны, а так как их соответствующие стороны BA1 и CA1 равны, то эти треугольники равны. Поэтому A1B1 = BC1 = AC1 и A1C1 = CB1 = AB1, то есть противоположные стороны четырёхугольника AB1A1C1 попарно равны. Следовательно, он – параллелограмм.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.