Олимпиадная задача: перенумерация точек на плоскости и углы между векторами
На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 , B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно
перенумеровать так, что для всех i
j угол между векторами 
и 
– острый или прямой.
Разобрать решение
Выберем на плоскости начало координат O и рассмотрим сумму S=
.
Выберем такую нумерацию точек Bi , что соответствующая сумма S максимальна. Рассмотрим теперь нумерацию точек B , в которой Bi и Bj обозначены Bj и Bi и ее сумму S' . По предположению максимальности S
S' , но
S-S'=
· 
+
· 
-
· -
· 0.
Преобразуя, получим
(-)·
(-)=
AjAi· 
0.
(*)
Итак, в нумерации с максимальным S неравенство(*)выполняется для любых i и j . А это равносильно условию задачи.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.