Олимпиадная задача по стереометрии и индукции для 9–11 классов от Заславского и Казицыной

Разрежем куб плоскостями, параллельными какой-нибудь грани, на слои(2n+1)x (2n+1)x 1. Так как любой полукирпич2x 2x 1пересекает каждый слой по четному числу единичных кубиков, в каждом слое должен содержаться хотя бы один кубик, т.е. общее число кубиков не меньше, чем2n+1. Покажем по индукции, что разрезание с2n+1единичным кубиком существует. Предположим, что куб с ребром2n-1разрезать требуемым образом можно. Рассмотрим оболочку, которая получается, если из куба с ребром2n+1удалить все внутренние кубики. Если удалить из этой оболочки два кубика, стоящие в противоположных углах, то оставшуюся часть можно разбить на 6 квадратов2nx 2nx 1, каждый из которых содержит один из оставшихся угловых кубиков. Следовательно, оболочку можно разрезать на полукирпичи и два единичных кубика, а внутренность куба по предположению индукции – на полукирпичи и2n-1кубик.