Олимпиадная задача Канеля-Белова по планиметрии и индукции для 10–11 класса
Каждой сторонеbвыпуклого многоугольникаPпоставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся вP, одна из сторон которых совпадает сb. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонамP, не меньше удвоенной площади многоугольникаP.
Разобрать решение
Автор: [Канель-Белов А.Я.](https://mirolimp.ru/tasks?author%5Bvalue%5D=100277)
Воспользуемся соображением:
если двигать одну из вершин (трех)(много)угольника с постоянной скоростью, то его площадь меняется тоже с постоянной скоростью.
линейная комбинация линейных функций тоже линейна.
линейная функция достигает максимума (минимума) на границе отрезка.
ПустьP- вершинаM, и число сторонMне меньше 4,R,T- соседние сPвершины. Будем двигатьPпараллельно [RT]. Тогда при движении в любом из двух направлений вершинаMвыйдет на продолжение стороныP.
Применив эти соображения, сведем задачу к случаю, когдаPлежит на продолжении одной из сторонM, т.е. один из угловMравен π.
Но в этом случае дело сводится к многоугольнику с меньшим числом вершин и завершается индукционным спуском.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.