Олимпиадная задача по планиметрии: углы треугольника A₁B₁C₁, медианы, 7–9 класс

Так как треугольникABCравнобедренный, тоBB₀– серединный перпендикуляр к основаниюAC. Значит,B₁лежит на этом перпендикуляре и  CB₀⊥BB₁.  Таким образом,CB₀– высота и медиана треугольникаBCB₁, откудаBC = B₁C,  а так как  ∠B₁BC= ½ ∠B= 60°,  то треугольникB₁BC– равносторонний. A₀, будучи серединой стороныBCявляется основанием высоты этого треугольника. Следовательно, точкиA₁иB₁лежат на серединном перпендикуляре к отрезкуBC. Аналогично,C₁иB₁лежат на серединном перпендикуляре к отрезкуAB. Значит,  ∠C₁B₁A₁= 180° –B= 60°, B₁A₁=B₁A₀+A₀A₁=B₁A₀+A₀A = B₁C₀+C₀C = B₁C₀+C₀C₁=B₁C₁,  то есть треугольникA₁B₁C₁– равнобедренный с углом при вершине 60°.