Олимпиадная задача по планиметрии: касательная через биссектрисы треугольника ABC
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A0 и C0 соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A0C0 в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .
Разобрать решение
Обозначим центр вписанной окружности через I . Пусть B0 – точка пересечения
биссектрисы угла B с описанной окружностью.
Тогда
IBC0=
(AC0+AB0)
=(BC0+CB0)= BIC0 , т.е. треугольник BIC0 равнобедренный, BC0=IC0 .
Аналогично, BA0=IA0 , значит треугольники A0IC0 и A0BC0 равны (см. рис.) . Следовательно, точки B и I симметричны относительно C0A0 , т.е. A0P – серединный перпендикуляр к отрезку BI .
Пусть, для определенности, P лежит на луче C0A0 . Пользуясь симметрией относительно A0P ,
имеем: A0BP= A0IP= A0AC= A0AB .
Получилось, что угол между хордой A0B окружности и прямой BP равен вписанному углу этой
окружности, опирающемуся на дугу A0B .
По теореме, обратной теореме об угле между касательной и
хордой, заключаем, что BP – касательная к описанной окружности треугольника ABC .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.