Олимпиадная задача по планиметрии для 9–11 классов от Емельянова Л. А.
AA1 и BB1 – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A1B1 пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.
Разобрать решение
Пусть A0, B0 – середины сторон BC и CA, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности.
Как известно, ∠CB1A1 = ∠B = ∠CA0B0, следовательно, точки A1, B1, A0, B0 лежат на одной окружности Ω1. Кроме того, точки A1, B1 лежат на окружности Ω2 с диаметром CH, а точки A0, B0 – на окружности Ω3 с диаметром CO.
ТочкаC'лежит на радикальных осях окружностей Ω1и Ω2, а также Ω1и Ω3, и, следовательно, является радикальным центром всех трёх окружностей. Центры окружностей Ω2и Ω3– серединыCHиCOсоответственно. ПрямаяCC'как радикальная ось окружностей Ω2и Ω3перпендикулярна их линии центров, а значит, иHO .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.